數(shù)列求和方法總結

時間：2025-04-17 16:55:14 詩琳總結我要投稿

數(shù)列求和方法總結

　　總結是事后對某一階段的學習或工作情況作加以回顧檢查并分析評價的書面材料，它可以幫助我們有尋找學習和工作中的規(guī)律，因此我們需要回頭歸納，寫一份總結了�？偨Y你想好怎么寫了嗎？下面是小編為大家收集的數(shù)列求和方法總結，歡迎閱讀與收藏。

數(shù)列求和方法總結

　　數(shù)列求和方法總結 1

　　等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。

　　基本概念：首項：等差數(shù)列的第一個數(shù)，一般用a1表示;

　　項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示;

　　公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的'差，一般用d表示;

　　通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示;

　　數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示.

　　基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1，an，d，n，sn，通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個;求和公

　　式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

　　基本公式：通項公式：an=a1+(n-1)d;

　　通項=首項+(項數(shù)一1)公差;

　　數(shù)列和公式：sn，=(a1+an)n2;

　　數(shù)列和=(首項+末項)項數(shù)2;

　　項數(shù)公式：n=(an+a1)d+1;

　　項數(shù)=(末項-首項)公差+1;

　　公差公式：d=(an-a1))(n-1);

　　公差=(末項-首項)(項數(shù)-1);

　　關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式。

　　數(shù)列求和方法總結 2

　�。�1）知識結構

　　（2）重點、難點分析

　　①教學重點是等差數(shù)列的定義和對通項公式的認識與應用，等差數(shù)列是特殊的數(shù)列，定義恰恰是其特殊性、也是本質屬性的準確反映和高度概括，準確把握定義是正確認識等差數(shù)列，解決相關問題的前提條件。通項公式是項與項數(shù)的函數(shù)關系，是研究一個數(shù)列的重要工具，等差數(shù)列的通項公式的結構與一次函數(shù)的解析式密切相關，通過函數(shù)圖象研究數(shù)列性質成為可能。

　�、谕ㄟ^不完全歸納法得出等差數(shù)列的'通項公式，所以是教學中的一個難點；另外，出現(xiàn)在一個等式中，運用方程的思想，已知三個量可以求出第四個量。由于一個公式中字母較多，學生應用時會有一定的困難，通項公式的靈活運用是教學的有一難點。

　�。�3）教法建議

　�、俦竟�(jié)內容分為兩課時，一節(jié)為等差數(shù)列的定義與表示法，一節(jié)為等差數(shù)列通項公式的應用．

　　②等差數(shù)列定義的引出可先給出幾組等差數(shù)列，讓學生觀察、比較，概括共同規(guī)律，再由學生嘗試說出等差數(shù)列的定義，對程度差的學生可以提示定義的結構：“……的數(shù)列叫做等差數(shù)列”，由學生把限定條件一一列舉出來，為等比數(shù)列的定義作準備．如果學生給出的定義不準確，可讓學生研究討論，用符合學生的定義但不是等差數(shù)列的數(shù)列作為反例，再由學生修改其定義，逐步完善定義．

　�、鄣炔顢�(shù)列的定義歸納出來后，由學生舉一些等差數(shù)列的例子，以此讓學生思考確定一個等差數(shù)列的條件．

　�、苡蓪W生根據(jù)一般數(shù)列的表示法嘗試表示等差數(shù)列，前提條件是已知數(shù)列的首項與公差．明確指出其圖像是一條直線上的一些點，根據(jù)圖像觀察項隨項數(shù)的變化規(guī)律；再看通項公式，項可看作項數(shù) 的一次型（）函數(shù)，這與其圖像的形狀相對應．

　�、萦懈F等差數(shù)列的末項與通項是有區(qū)別的，數(shù)列的通項公式是數(shù)列第項與項數(shù) 之間的函數(shù)關系式，有窮等差數(shù)列的項數(shù)未必是，即其末項未必是該數(shù)列的第項，在教學中一定要強調這一點．

　�、薜炔顢�(shù)列前項和的公式推導離不開等差數(shù)列的性質，所以在本節(jié)課應補充一些重要的性質；另外可讓學生研究等差數(shù)列的子數(shù)列，有規(guī)律的子數(shù)列會引起學生的興趣．

　�、叩炔顢�(shù)列是現(xiàn)實生活中廣泛存在的數(shù)列的數(shù)學模型，如教材中的例題、習題等，還可讓學生去搜集，然后彼此交流，提出相關問題，自己嘗試解決，為學生提供相互學習的機會，創(chuàng)設相互研討的課堂環(huán)境．

　　數(shù)列求和方法總結 3

　　等比數(shù)列這個名詞是我們在數(shù)學中經(jīng)常會用到的一個名詞，我們在初中的時候就開始學習等比數(shù)列，但是在升入高中以后可能還是對這一個難題束手無策，在這里，小編就要教教大家如何用等比數(shù)列求和，攻克這一個數(shù)學難題!

　　一.等比數(shù)列求和的教學基礎

　　1.知識結構

　　先用錯位相減法推出等比數(shù)列前項和公式，而后運用公式解決一些問題，并將通項公式與前項和公式結合解決問題，還要用錯位相減法求一些數(shù)列的前n項.

　　2.重點、難點分析

　　教學重點、難點是等比數(shù)列前項和公式的推導與應用.公式的推導中蘊含了豐富的數(shù)學思想、方法(如分類討論思想，錯位相減法等)，這些思想方法在其他數(shù)列求和問題中多有涉及，所以對等比數(shù)列前n項和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導公式的方法.等比數(shù)列前n項和公式是分情況討論的，在運用中要特別注意 q=1和q=1兩種情況.

　　3.學習建議

　　①本節(jié)內容分為兩課時，一節(jié)為等比數(shù)列前項和公式的推導與應用，一節(jié)為通項公式與前項和公式的綜合運用，另外應補充一節(jié)數(shù)列求和問題.

　　②等比數(shù)列前n項和公式的推導是重點內容，引導學生觀察實例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納總結，證明結論

　　③等比數(shù)列前n項和公式的推導的其他方法可以給出，提高學生學習的興趣

　　④編擬例題時要全面，不要忽略的情況.

　　⑤通項公式與前n項和公式的綜合運用涉及五個量，已知其中三個量可求另兩個量，但解指數(shù)方程難度大

　�、扪a充可以化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)列求和問題.

　　二、等比數(shù)列求和公式

　　一個數(shù)列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數(shù)，且數(shù)列中任何項都不為0，

　　即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)，這個數(shù)列叫等比數(shù)列，其中常數(shù)q 叫作公比。

　　如： 2、4、8、16......2^10 就是一個等比數(shù)列，其公比為2，可寫為 an=2×2^(n-1) 通項公式 an=a1×q^(n-1);

　　1.通項公式與推廣式

　　推廣式：an=am×q^(n-m) [^的意思為q的(n-m)次方];

　　2.求和公式

　　Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) S∞=a1/(1-q) (n-> ∞)(|q|<1) (q為公比，n為項數(shù))

　　3.等比數(shù)列求和公式推導

　�、賁n=a1+a2+a3+...+an(公比為q)

　　②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)

　�、跾n-q*Sn=a1-a(n+1)

　�、�(1-q)Sn=a1-a1*q^n

　�、軸n=(a1-a1*q^n)/(1-q)

　　⑥Sn=(a1-an*q)/(1-q)

　�、逽n=a1(1-q^n)/(1-q)

　　4性質簡介

　　①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq;

　�、谠诘缺葦�(shù)列中，依次每 k項之和仍成等比數(shù)列; 等比數(shù)列的性質

　　③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2;

　�、� 若G是a、b的等比中項，則G^2=ab(G ≠ 0);

　�、菰诘缺葦�(shù)列中，首項a1與公比q都不為零

　　三.學習等比數(shù)列的方法

　　1知識與技能目標

　　理解用錯位相減法推導等比數(shù)列前n項和公式的過程，掌握公式的特點，并在此基礎上能初步應用公式解決與之有關的問題.

　　2.過程與方法目標

　　通過對公式的研究過程，提高學生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優(yōu)化思維品質.

　　3.情感、態(tài)度與價值目標

　　通過學生自主對公式的探索，激發(fā)學生的求知欲，鼓勵學生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質，并從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學的'嚴謹美.

　　4..教學重點、難點

　　①重點：等比數(shù)列前n項和公式的推導及公式的簡單應用. 突出重點的方法：“抓三線、突重點”，即一是知識技能線：問題情境→公式推導→公式運用;二是過程方法線:從特殊、歸納猜想到一般→錯位相減法→數(shù)學思想;三是能力線：觀察能力→初步解決問題能力

　　.②難點：錯位相減法的生成和等比數(shù)列前n項和公式的運用. 突破難點的手段：“抓兩點，破難點”,即一抓學生情感和思維的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學生大膽猜想、積極探索，并及時給予肯定;二抓知識的切入點，從學生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學生主體下給予適當?shù)奶崾竞椭笇?

　　數(shù)列求和方法總結 4

　　一、分組轉化求和法

　　若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構成，則求這個數(shù)列的前n項和Sn時可以用分組求和法求解。一般步驟是：拆裂通項――重新分組――求和合并。

　　例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）的和

　　解由和式可知，式中第n項為an=n（3n+1）=3n2+n

　　∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n（3n+1）

　　=（3×12+1）+（3×22+2）+（3×32+3）+…+（3n2+n）

　　=3（12+22+32+…+n2）+（1+2+3+…+n）

　　=3×16n（n+1）（2n+1）+n（n+1）2

　　=n（n+1）2

　　二、奇偶分析求和法

　　求一個數(shù)列的前n項和Sn，如果需要對n進行奇偶性討論或將奇數(shù)項、偶數(shù)項分組求和再求解，這種方法稱為奇偶分析法。

　　例2：求和：Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　分析：觀察數(shù)列的通項公式an=（-1）n（2n-1）可知Sn與數(shù)列項數(shù)n的奇偶性有關，故利用奇偶分析法及分組求和法求解，也可以在奇偶分析法的基礎上利用并項求和法求的結果。

　　解：當n為偶數(shù)時，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n2（1+2n-3）2+n2（3+2n-1）2

　　=-n2-n2+n2+n2=n

　　當n為奇數(shù)時，

　　Sn=-1+3-5+7-9+11-…+（-1）n（2n-1）

　　=-（1+5+9+…+2n-3）+（3+7+11+…+2n-1）

　　=-n+12（1+2n-1）2+n-12（3+2n-3）2

　　=-n2+n2+n2-n2=-n

　　綜上所述，Sn=（-1）nn

　　三、并項求和法

　　一個數(shù)列an的前n項和Sn中，某些項合在一起就具有特殊的'性質，因此可以幾項結合求和，再求Sn，稱之為并項求和法。形如an=（-1）nf（n）的類型，就可以采用相鄰兩項合并求解。如例3中可用并項求和法求解。

　　例3：求S=-12+22-32+42-…-992+1002

　　解S=（-12+22）+（-32+42）+…+（-992+1002）

　　=（1+2）+（3+4）+…+（99+100）=5050

　　四、基本公式法

　　如果一個數(shù)列是符合以下某種形式，如等差、等比數(shù)列或通項為自然數(shù)的平方、立方的，那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。

　　常用公式有

　�。�1）等差數(shù)列求和公式：Sn=na1+n（n-1）2d=n（a1+an）2

　�。�2）等比數(shù)列求和公式：Sn=na1a1（1-qn）1-q=a1-anq1-q（q=1）（q≠1）

　�。�3）1+2+3+…+n=n（n+1）2

　　（4）1+3+5+…+2n-1=n2

　�。�5）2+4+6+…+2n=n（n+1）

　　（6）12+22+32+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

　�。�7）13+23+33+…+n3=14n2（n+1）2

　　例1：已知等比數(shù)列an的通項公式是an=12n-1，設Sn是數(shù)列an的前n項和，求Sn。

　　解：∵an=12n-1∴a1=1，q=12

　　∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1（1-12n）1-12=2-12n-1

　　五、裂項相消法

　　如果一個數(shù)列an的通項公式能拆分成兩項差的形式，并且相加過程中可以互相抵消至只剩下有限項時，這時只需求有限項的和，把這種求數(shù)列前n項和Sn的方法叫做裂項相消法。

　　裂項相消法中常用的拆項轉化公式有：

　�。�1）1n（n+1）=1n-1n+1，1n（n+k）=1k（1n-1n+k）

　�。�2）1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1）

　　（3）1n（n+1）（n+2）=12[1n（n+1）-1（n+1）（n+2）]

　�。�4）1n+n+1=n+1-n，1n+n+k=1k（n+k-n），

　　其中n∈N，k∈R且k≠0

　　例5：求數(shù)列1，11+2，11+2+3，…，11+2+3+…+n，…的前n和Sn。

　　解由題知，an=11+2+3+…+n=2n（n+1）=2（1n-1n+1）

　　∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n

　　=2（1-12）+2（12-13）+2（13-14）+…+2（1n-1n+1）

　　=2（1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1）

　　=2（1-1n+1）=2nn+1

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