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二次函數(shù)解題方法總結(jié)
二次函數(shù)是初中重要的數(shù)學知識點,本文就來分享一篇二次函數(shù)解題方法總結(jié),希望對大家能有所幫助!
1.求證“兩線段相等”的問題:
2.“平行于y軸的動線段長度的最大值”的問題:
由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等(常設(shè)為t),借助于兩個端點所在的函數(shù)圖象解析式,把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的代數(shù)式表示出來,再由兩個端點的高低情況,運用平行于y軸的線段長度計算公式,把動線段的長度就表示成為一個自變量為t,且開口向下的二次函數(shù)解析式,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得動線段長度的最大值及端點坐標。
3.求一個已知點關(guān)于一條已知直線的對稱點的坐標問題:
先用點斜式(或稱K點法)求出過已知點,且與已知直線垂直的直線解析式,再求出兩直線的交點坐標,最后用中點坐標公式即可。
4.“拋物線上是否存在一點,使之到定直線的距離最大”的問題:
(方法1)先求出定直線的斜率,由此可設(shè)出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式(注意該直線與定直線的斜率相等,因為平行直線斜率(k)相等),再由該直線與拋物線的解析式組成方程組,用代入法把字母y消掉,得到一個關(guān)于x的的一元二次方程,由題有△=-4ac=0(因為該直線與拋物線相切,只有一個交點,所以-4ac=0)從而就可求出該切線的解析式,再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組,求出x、y的值,即為切點坐標,然后再利用點到直線的距離公式,計算該切點到定直線的距離,即為最大距離。
(方法2)該問題等價于相應(yīng)動三角形的面積最大問題,從而可先求出該三角形取得最大面積時,動點的坐標,再用點到直線的距離公式,求出其最大距離。
(方法3)先把拋物線的方程對自變量求導,運用導數(shù)的幾何意義,當該導數(shù)等于定直線的斜率時,求出的點的坐標即為符合題意的點,其最大距離運用點到直線的距離公式可以輕松求出。
5.常數(shù)問題:
(1)點到直線的距離中的常數(shù)問題:
“拋物線上是否存在一點,使之到定直線的距離等于一個固定常數(shù)”的問題:
先借助于拋物線的解析式,把動點坐標用一個字母表示出來,再利用點到直線的距離公式建立一個方程,解此方程,即可求出動點的橫坐標,進而利用拋物線解析式,求出動點的縱坐標,從而拋物線上的動點坐標就求出來了。
(2)三角形面積中的常數(shù)問題:
“拋物線上是否存在一點,使之與定線段構(gòu)成的動三角形的面積等于一個定常數(shù)”的問題:
先求出定線段的長度,再表示出動點(其坐標需用一個字母表示)到定直線的距離,再運用三角形的面積公式建立方程,解此方程,即可求出動點的橫坐標,再利用拋物線的解析式,可求出動點縱坐標,從而拋物線上的動點坐標就求出來了。
6.“在定直線(常為拋物線的對稱軸,或x軸或y軸或其它的定直線)上是否存在一點,使之到兩定點的距離之和最小”的問題:
先求出兩個定點中的任一個定點關(guān)于定直線的對稱點的坐標,再把該對稱點和另一個定點連結(jié)得到一條線段,該線段的長度〈應(yīng)用兩點間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離,而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點,其坐標很易求出(利用求交點坐標的方法)。
7.三角形周長的“最值(最大值或最小值)”問題:
“在定直線上是否存在一點,使之和兩個定點構(gòu)成的三角形周長最小”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題):
由于有兩個定點,所以該三角形有一定邊(其長度可利用兩點間距離公式計算),只需另兩邊的和最小即可。
8.三角形面積的最大值問題:
、佟皰佄锞上是否存在一點,使之和一條定線段構(gòu)成的三角形面積最大”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題”):
(方法1)先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度;然后再利用上面3的方法,求出拋物線上的動點到該定直線的最大距離。最后利用三角形的面積公式底·高1/2。即可求出該三角形面積的最大值,同時在求解過程中,切點即為符合題意要求的點。
(方法2)過動點向y軸作平行線找到與定線段(或所在直線)的交點,從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形,動點坐標一母示后,
進一步可得到,轉(zhuǎn)化為一個開口向下的二次函數(shù)問題來求出最大值。
、凇叭吘鶆拥膭尤切蚊娣e最大”的問題(簡稱“三邊均動”的問題):
先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形(有一邊在x軸或y軸上的三角形,或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形,稱為基本模型的三角形)面積之差,設(shè)出動點在x軸或y軸上的點的坐標,而此類題型,題中一定含有一組平行線,從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似(常為圖中最大的那一個三角形)。利用相似三角形的性質(zhì)(對應(yīng)邊的比等于對應(yīng)高的比)可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數(shù)關(guān)系式,相應(yīng)問題也就輕松解決了。
9.“一拋物線上是否存在一點,使之和另外三個定點構(gòu)成的四邊形面積最大的問題”:
由于該四邊形有三個定點,從而可把動四邊形分割成一個動三角形與一個定三角形(連結(jié)兩個定點,即可得到一個定三角形)的面積之和,所以只需動三角形的面積最大,就會使動四邊形的面積最大,而動三角形面積最大值的求法及拋物線上動點坐標求法與7相同。
10、“定四邊形面積的求解”問題:
有兩種常見解決的方案:
方案(一):連接一條對角線,分成兩個三角形面積之和;
方案(二):過不在x軸或y軸上的四邊形的一個頂點,向x軸(或y軸)作垂線,或者把該點與原點連結(jié)起來,分割成一個梯形(常為直角梯形)和一些三角形的面積之和(或差),或幾個基本模型的三角形面積的和(差)
11.“兩個三角形相似”的問題:
12.“某函數(shù)圖象上是否存在一點,使之與另兩個定點構(gòu)成等腰三角形”的問題:
首先弄清題中是否規(guī)定了哪個點為等腰三角形的頂點。(若某邊底,則只有一種情況;若某邊為腰,有兩種情況;若只說該三點構(gòu)成等腰三角形,則有三種情況)。先借助于動點所在圖象的解析式,表示出動點的坐標(一母示),按分類的情況,分別利用相應(yīng)類別下兩腰相等,使用兩點間的距離公式,建立方程。解出此方程,即可求出動點的橫坐標,再借助動點所在圖象的函數(shù)關(guān)系式,可求出動點縱坐標,注意去掉不合題意的點(就是不能構(gòu)成三角形這個題意)。
13、“某圖象上是否存在一點,使之與另外三個點構(gòu)成平行四邊形”問題:
這類問題,在題中的四個點中,至少有兩個定點,用動點坐標“一母示”分別設(shè)出余下所有動點的坐標(若有兩個動點,顯然每個動點應(yīng)各選用一個參數(shù)字母來“一母示”出動點坐標),任選一個已知點作為對角線的起點,列出所有可能的對角線(顯然最多有3條),此時與之對應(yīng)的另一條對角線也就確定了,然后運用中點坐標公式,求出每一種情況兩條對角線的中點坐標,由平行四邊形的判定定理可知,兩中點重合,其坐標對應(yīng)相等,列出兩個方程,求解即可。
進一步有:
、偃羰欠翊嬖谶@樣的動點構(gòu)成矩形呢?先讓動點構(gòu)成平行四邊形,再驗證兩條對角線相等否?若相等,則所求動點能構(gòu)成矩形,否則這樣的動點不存在。
、谌羰欠翊嬖谶@樣的動點構(gòu)成棱形呢?先讓動點構(gòu)成平行四邊形,再驗證任意一組鄰邊相等否?若相等,則所求動點能構(gòu)成棱形,否則這樣的動點不存在。
、廴羰欠翊嬖谶@樣的動點構(gòu)成正方形呢?先讓動點構(gòu)成平行四邊形,再驗證任意一組鄰邊是否相等?和兩條對角線是否相等?若都相等,則所求動點能構(gòu)成正方形,否則這樣的動點不存在。
14.“拋物線上是否存在一點,使兩個圖形的面積之間存在和差倍分關(guān)系”的問題:(此為“單動問題”〈即定解析式和動圖形相結(jié)合的問題〉,后面的19實為本類型的特殊情形。)
先用動點坐標“一母示”的方法設(shè)出直接動點坐標,分別表示(如果圖形是動圖形就只能表示出其面積)或計算(如果圖形是定圖形就計算出它的具體面積),然后由題意建立兩個圖形面積關(guān)系的一個方程,解之即可。(注意去掉不合題意的點),如果問題中求的是間接動點坐標,那么在求出直接動點坐標后,再往下繼續(xù)求解即可。
15.“某圖形〈直線或拋物線〉上是否存在一點,使之與另兩定點構(gòu)成直角三角形”的問題:
若夾直角的兩邊與y軸都不平行:先設(shè)出動點坐標(一母示),視題目分類的情況,分別用斜率公式算出夾直角的兩邊的斜率,再運用兩直線(沒有與y軸平行的直線)垂直的斜率結(jié)論(兩直線的斜率相乘等于-1),得到一個方程,解之即可。
若夾直角的兩邊中有一邊與y軸平行,此時不能使用斜率公式。補救措施是:過余下的那一個點(沒在平行于y軸的那條直線上的點)直接向平行于y的直線作垂線或過直角點作平行于y軸的直線的垂線與另一相關(guān)圖象相交,則相關(guān)點的坐標可輕松搞定。
16.“某圖象上是否存在一點,使之與另兩定點構(gòu)成等腰直角三角形”的問題。
、偃舳c為直角頂點,先用k點法求出另一直角邊所在直線的解析式(如斜率不存在,根據(jù)定直角點,可以直接寫出另一直角邊所在直線的方程),利用該解析式與所求點所在的圖象的解析式組成方程組,求出交點坐標,再用兩點間的距離公式計算出兩條直角邊等否?若等,該交點合題,反之不合題,舍去。
、谌魟狱c為直角頂點:先利用k點法求出定線段的中垂線的解析式,再把該解析式與所求點所在圖象的解析式組成方程組,求出交點坐標,再分別計算出該點與兩定點所在的兩條直線的斜率,把這兩個斜率相乘,看其結(jié)果是否為-1?若為-1,則就說明所求交點合題;反之,舍去。
17.“題中含有兩角相等,求相關(guān)點的坐標或線段長度”等的問題:
題中含有兩角相等,則意味著應(yīng)該運用三角形相似來解決,此時尋找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是關(guān)鍵和突破口。
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